Ejemplo numérico
Acierto 55 %, ratio ganancia/pérdida 2: Kelly completo 32,5 %, medio Kelly 16,25 %, cuarto de Kelly 8,125 %. Crecimiento logarítmico esperado por operación: 9,86 % con Kelly completo, 7,50 % con medio Kelly. Forma continua con 8 % de rendimiento esperado, 3 % de tasa libre de riesgo y 20 % de volatilidad: 125 %, es decir apalancamiento.
Fórmula
- Resultado binario, forma general (Kelly 1956): f = p / l - q / g, con p la probabilidad de ganar, q = 1 - p, g la fracción de la apuesta ganada si sale bien y l la fracción perdida si sale mal.
- Forma de trading con pérdida total de lo arriesgado (l = 1) y ratio R = ganancia media / pérdida media: f = p - q / R.
- Crecimiento logarítmico esperado por apuesta a la fracción f: G(f) = p ln(1 + g f) + q ln(1 - l f). Apostar el doble de Kelly devuelve el crecimiento a cerca de cero.
- Aproximación continua para una inversión: f = (mu - r) / sigma², con mu el rendimiento esperado, r la tasa libre de riesgo y sigma la volatilidad, anuales. Un resultado por encima del 100 % implica apalancamiento.
Límites
- p y R son estimaciones. Un pequeño error en la tasa de acierto mueve mucho la fracción de Kelly, y una ventaja sobrestimada lleva a apostar de más, lo que reduce el crecimiento y agranda las caídas.
- La fórmula supone apuestas repetidas, independientes y con probabilidades conocidas. Las operaciones suelen estar correlacionadas, tener colas gruesas y sufrir costes y deslizamiento.
- El Kelly fraccionado (medio o cuarto) reduce la volatilidad y el riesgo de ruina, a cambio de un crecimiento más lento.
- La forma continua supone una distribución de rendimientos simétrica.
Preguntas
¿Qué fracción de Kelly usar?
No hay un valor universal. El Kelly completo solo maximiza el crecimiento si los datos son exactos. Muchos traders usan medio o cuarto de Kelly para absorber el error de estimación.
¿Y si el resultado es negativo?
Un resultado nulo o negativo significa que los datos no muestran ventaja: el criterio dice no tomar la apuesta.
¿Kelly da el importe arriesgado o el tamaño de la posición?
En la forma de trading es la fracción del capital puesta en riesgo en una operación que pierde todo lo arriesgado en el stop. Conviértela en unidades con la calculadora de tamaño de posición.