Exemple chiffré
Réussite 55 %, ratio gain/perte 2 : Kelly entier 32,5 %, demi-Kelly 16,25 %, quart de Kelly 8,125 %. Croissance logarithmique attendue par trade : 9,86 % au Kelly entier, 7,50 % au demi-Kelly. Forme continue avec 8 % de rendement attendu, 3 % de taux sans risque et 20 % de volatilité : 125 %, soit un levier.
Formule
- Issue binaire, forme générale (Kelly 1956) : f = p / l - q / g, avec p la probabilité de gain, q = 1 - p, g la fraction de la mise gagnée en cas de gain et l la fraction perdue en cas de perte.
- Forme trading, perte totale de la somme risquée (l = 1) et ratio R = gain moyen / perte moyenne : f = p - q / R.
- Croissance logarithmique attendue par pari à la fraction f : G(f) = p ln(1 + g f) + q ln(1 - l f). Miser deux fois Kelly ramène la croissance vers zéro.
- Approximation continue pour un investissement : f = (mu - r) / sigma², avec mu le rendement attendu, r le taux sans risque et sigma la volatilité, en annuel. Un résultat au-dessus de 100 % implique un levier.
Limites
- p et R sont des estimations. Une petite erreur sur le taux de réussite déplace beaucoup la fraction de Kelly, et un avantage surestimé mène à sur-miser, ce qui réduit la croissance et creuse les pertes.
- La formule suppose des paris répétés, indépendants et à cotes connues. Les trades sont souvent corrélés, à queues épaisses et grevés de frais et de glissement.
- Le Kelly fractionné (demi ou quart) réduit la volatilité et le risque de ruine, au prix d’une croissance plus lente.
- La forme continue suppose une distribution des rendements symétrique.
Questions
Quelle fraction de Kelly choisir ?
Il n’y a pas de valeur universelle. Le Kelly entier ne maximise la croissance que si les données sont exactes. Beaucoup de traders prennent un demi ou un quart de Kelly pour absorber l’erreur d’estimation.
Et si le résultat est négatif ?
Un résultat nul ou négatif signifie que les données ne montrent aucun avantage : le critère dit de ne pas prendre le pari.
Kelly donne-t-il le montant risqué ou la taille de position ?
Dans la forme trading, c’est la fraction du capital mise en risque sur un trade qui perd toute la somme risquée au stop. Convertissez-la en unités avec le calculateur de taille de position.